Theorie der partiellen Differentialgleichungen, Angewandte und Numerische Analysis

Julian Fischer ist Mathematiker und arbeitet auf dem Gebiet der angewandten Analysis und der partiellen Differentialgleichungen, die in angewandten Wissenschaften aufkommen. In seiner Forschung ergeben sich auch häufig Verbindungen der mathematischen Analysis mit numerischer Analysis und Stochastik.

Partielle Differentialgleichungen (PDGs) sind ein grundlegendes Instrument um viele physikalische Phänomene zu beschreiben. Die Navier-Stokes Gleichung beschreibt zum Beispiel die Strömung von Flüssigkeiten, während das Verhalten elektromagnetischer Felder von den Maxwell-Gleichungen bestimmt wird. Viele mathematische Fragen hängen mit partiellen Differentialgleichungen zusammen: Hat eine bestimmte partielle Differentialgleichung eine Lösung? Ist diese Lösung eindeutig oder lässt die Gleichung weitere, unphysikalische Lösungen zu? Wie kann man sich dieser Lösung für praktische Zwecke annähern? Ist es möglich, für eine bestimmte physikalische Situation auch eine einfachere Gleichung zu verwenden?

Besonders mit dieser letzten Frage beschäftigt sich die Fischer Gruppe in ihren derzeitigen Schwerpunktthemen. Für die meisten physikalischen Situationen gibt es viele PDG-basierte Modelle mit unterschiedlichen Präzisionsgraden. Es wird dann die PDG ausgesucht, die mit dem geringsten Rechenaufwand gelöst werden kann und gleichzeitig eine ausreichend präzise Beschreibung der physikalischen Wirklichkeit bietet. Um die Modellauswahl zu erleichtern, ist eine Schätzung des Modellierungsfehlers für das bestimmte Modell erstrebenswert. Ein Schwerpunktthema der Fischer Gruppe sind a posteriori Schätzungen des Modellierungsfehlers. Das ist ein mathematisches Konzept, das eine (exakte oder numerische) Lösung eines PDG Modells als Eingabe verwendet und eine Grenze für den Modellierungsfehler bietet, im Vergleich mit einem präziseren Modell.

Der zweite Schwerpunkt der Fischer Gruppe liegt auf der stochastischen Homogenisierung: Viele reale Materialien weisen auf kleinen Maßstäben zufällige Heterogenitäten auf, aber verhalten sich im großen Maßstab trotzdem wie ein homogenes Material. Gegenstand der Homogenisierungs-Theorie ist die Ableitung effektiver Modelle für das makroskopische Verhalten eines Materials als eine Grenze von Materialmodellen, die die Mikrostruktur des Materials beinhalten. Das homogene effektive Modell ist üblicherweise leichter zu lösen, aber gibt eine weniger genaue Beschreibung des Materialverhaltens („Homogenisierungsfehler“). Von besonderem Interesse für die Fischer Gruppe ist die quantitative Theorie der stochastischen Homogenisierung, die sich zum Beispiel mit quantitativen Schätzungen des Homogenisierungsfehlers beschäftigt.

Kontakt
Julian Fischer

Institute of Science and Technology Austria (IST Austria) Am Campus 1A – 3400 Klosterneuburg

E-mail: julian.fischer@remove-this.ist.ac.at

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Assistentin
Jessica de Antoni

Phone: +43 (0)2243 9000-1178
E-mail:  jessica.deantoni@remove-this.ist.ac.at

Ausgewählte Publikationen

  • Fischer J, Otto F. 2016. A higher-order large-scale regularity theory for random elliptic operators. Comm. Partial Differential Equations 41 (7), 1108-1148.
  • Fischer J. 2015. A posteriori modeling error estimates for the assumption of perfect incompressibility in the Navier-Stokes equation. SIAM J. Numer. Anal. 53 (5), 2178-2205.
  • Fischer J. 2015. Global existence of renormalized solutions to entropy-dissipating reaction-diffusion systems. Arch. Ration. Mech. Anal. 218 (1), 553-587.
  • Fischer J. 2014. Upper bounds on waiting times for the thin-film equation: the case of weak slippage. Arch. Ration. Mech. Anal. 211 (3), 771-818.

Karriere
Ab 2017 Assistant Professor, IST Austria
2014-2016 Postdoc, Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig
2013-2014 Postdoc, Universität Zürich
2011-2013 PhD in Mathematik, Universität Erlangen-Nürnberg

Ausgewählte Auszeichnungen
2015 Dr. Körper Preis, PhD Award von GAMM

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