Mathematik der ungeordneten Quantensysteme und Matrizen

Laszlo Erdös

Wie sehen die Eigenwerte großer Matrizen aus? Wie verhalten sich die Energieniveaus großer Quantensysteme? Folgt man Eugene Wigners bahnbrechender Vision aus dem Jahr 1955, haben diese zwei Fragen dieselbe Antwort. Sie ist insofern universell gültig, dass sie nur vom grundlegenden Symmetrietyp des Systems, aber ansonsten nicht von den Details abhängig ist.

Quantenphysik ist eine ständige Inspirationsquelle für mathematische Konzepte, Probleme und Methoden. Die Erdös-Gruppe untersucht physikalische Systeme, in denen sich zwei etablierte Teilbereiche der Mathematik treffen. Die Funktionalsanalysis und Theorie von Operatoren sind, da im Wesentlichen dafür entwickelt, für die Untersuchung der Quantenmechanik geeignet. Andererseits wird die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig, wenn das komplette physikalische System für eine deterministische Beschreibung zu komplex ist. In diesem Fall sind die zusätzlichen Freiheitsgrade nur durch ihre statistischen Eigenschaften beschreibbar.

Große komplexe Systeme tendieren dazu, universelle Muster auszubilden, die oft ihre wesentlichen Eigenschaften repräsentieren. Beispielsweise tendieren große Summen unabhängiger Zufallsvariablen durch den zentralen Grenzwertsatz zur Gaußschen Verteilung. Da Quantensysteme durch Operatoren oder große Matrizen beschrieben werden, lässt sich natürlich analog nach der Universalität hinter großen Zufallsmatrizen fragen. Das richtige Konzept dazu wurde von Eugene Wigner 1955 aufgezeigt, als er vorhersagte, dass die lokalen Statistikdaten von Eigenwerten einem universellen Muster folgen. Tatsächlich stelle er sich vor, dass dieselbe Statistik die Energiewerte jedes ausreichend chaotischen Quantensystems beschreibt. Obwohl diese kühne Vermutung schon numerisch und experimentell in vielen Situationen verifiziert wurde, hat sie sich bis heute einer strengen Beweisführung für jedes realistische physikalische Modell entzogen.

Ein zentrales Beispiel sind die Unreinheiten in Metallen, die durch zufällige Schrödinger-Operatoren beschreibbar sind. Metallische Gitter sind normalerweise gute Leiter, weil ihre regelmäßige Struktur die Bildung kohärenter elektronischer Zustände erlaubt, die sich durch die Probe ziehen. Wenn die regelmäßige Anordnung der Ionen geringfügig gestört wird, ist die Leitfähigkeit weitherhin zu erwarten, wenn auch vielleicht eine schwächere. Allerdings wurde diese grundlegende Tatsache noch nicht streng mathematisch begründet. Statt dessen wurde nachgewiesen, dass die Probe zu einem Isolator für große Unordnungen (Anderson Transition) wird. Die lokale Spektralstatistik unterscheidet zwischen diesen zwei Zuständen; Im Allgemeinen herrscht die Ansicht, dass die Statistik zufälliger Matrizen im Zustand der Leitfähigkeit vorherrscht.

Quantensysteme sind aus historischer Sicht die Hauptursache für die Untersuchung zufälliger Matrizen. Aber die Statistik zufälliger Matrizen scheint in der Natur allgegenwärtig zu sein: mit Anwendungen von der Statistik bis zur Netzwerktheorie. Unsere Forschung konzentriert sich auf die Entwicklung mathematischer Werkzeuge, um dieses faszinierende Phänomen zu verstehen und den rigorosen Beweis zu erbringen, dass es tatsächlich in Alltagsmodellen vorkommt.

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Laszlo Erdös
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Assistentin
Jessica de Antoni

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Team

Ausgewählte Publikationen

  • Erdös L, Yau H-T. 2012. Universality of local spectral statistics of random matrices. Bull. Amer. Math. Soc. 49, no.3, 377–414.
  • Erdös L, Yau H-T, Yin J. 2012. Rigidity of Eigenvalues of Generalized Wigner Matrices. Adv. Math. 229, no. 3, 1435–1515.
  • Erdös L, Schlein B, Yau H-T. 2011. Universality of Random Matrices and Local Relaxation Flow. Invent. Math. 185, no.1, 75–119.

Karriere

Seit 2013 Professor, IST Austria
2003–2013 Lehrstuhl für angewandte Mathematik (C4/W3), Ludwig-Maximilians-Universität, München
1998–2003 Assistant, Associate, Full Professor, Georgia Institute of Technology, Atlanta
1995–1998 Courant Instructor/Assistant Professor, Courant Institute, New York University, New York
1994–1995 Postdoctoral researcher, ETH Zürich
1990–1994 PhD in Mathematik, Princeton University
1985–1990 Diploma in Mathematik, Eotvos Lorand University, Budapest

Ausgewählte Auszeichnungen

Highly Cited Scientist

2017 Leonard Eisenbud Prize
2013 ERC Advanced Grant