Chen Group

Geometrische Topologie von Mannigfaltigkeiten

Mannigfaltigkeiten sind zentrale Objekte, die in der Geometrie und Topologie untersucht werden. Sie sind Modelle der Raumzeit, in der wir leben, und bilden das Grundkonzept vieler physikalischer Theorien. Andererseits sind Mannigfaltigkeiten in den angewandten Wissenschaften sehr nützlich: Die Datenwolke in einem Experiment kann die Form einer Mannigfaltigkeit haben. Wenn man die Eigenschaften dieser Mannigfaltigkeit untersucht, erhält man wiederum Informationen über die Beschaffenheit der Daten.

Die Chen Gruppe untersucht eine Vielzahl von Fragen im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten (in der Regel glatt oder mit mehr Struktur) und auch allgemeinen topologischen Räumen. Die meisten davon befassen sich mit Modulräumen. Wir interessieren uns insbesondere für das folgende einfachste Beispiel für Modulräume, die sogenannten Konfigurationsräume:
Unter der Voraussetzung einer Mannigfaltigkeit oder eines Raums X und einer natürlichen Zahl n können wir einen neuen Raum Conf(X,n) bilden, dessen Punkte die Konfigurationen von n geordneten Punkten in X sind, wobei die Punkte jedoch nicht miteinander übereinstimmen dürfen.

Darüber hinaus untersuchen wir einige „Invarianten“ von Mannigfaltigkeiten (also einfachere Größen, die aus einer Mannigfaltigkeit extrahiert werden, wie Zahlen oder Gruppen), die durch Zählen von Punkten in Konfigurationsräumen definiert sind, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Dazu untersuchen wir die algebraischen Strukturen, die mit Konfigurationsräumen zusammenhängen (etwa Operaden).